최소 신장 트리 : Kruskal Algorithm

그래프 이론과 컴퓨터 과학 분야에서 알고리즘은 효율적인 문제 해결에 중추적인 역할을 합니다. 이러한 문제 해결 알고리즘의 흥미로운 예는 Kruskal의 알고리즘입니다. 이 블로그 게시물은 Kruskal 알고리즘의 세부 사항을 탐구하여 최소 스패닝 트리 문제를 해결하는 개념과 응용 프로그램을 이해하는 데 도움을 줍니다.

Kruskal의 알고리즘 이해

Joseph Kruskal의 이름을 딴 Kruskal의 알고리즘은 주어진 가중치, 연결 및 무방향 그래프의 최소 스패닝 트리(MST)를 찾는 데 사용되는 널리 사용되는 알고리즘입니다. 그래프의 MST는 그래프의 모든 정점에 걸쳐 있으며 가능한 모든 트리 중에서 총 가중치가 가장 적은 트리입니다.

Kruskal의 알고리즘은 모든 에지를 낮은 가중치에서 높은 가중치로 정렬한 다음 이를 스패닝 트리에 순서대로 추가하여 추가되는 에지가 이미 포함된 에지로 순환을 형성하지 않도록 합니다.

Kruskal의 알고리즘 작업

다음은 Kruskal의 알고리즘 작동 방식에 대한 단계별 프로세스입니다.

1. 가중치가 감소하지 않는 순서로 그래프의 모든 가장자리를 정렬합니다.
2. 가장 낮은 가중치 에지부터 MST에 에지 추가를 시작하여 추가되는 에지가 지금까지 형성된 MST와 사이클을 형성하지 않도록 합니다. MST에 (V-1)개의 에지가 있을 때까지 이 단계를 반복합니다. 여기서 V는 정점의 수입니다.
3. 에지를 추가하여 주기가 생성되면 이 에지를 거부합니다.
4. 최종 MST는 선택된 에지 세트가 됩니다.

Kruskal 알고리즘을 C#로 구현

Kruskal 알고리즘을 구현하는 방법을 이해하기 위해 C#의 예를 살펴보겠습니다.

public class KruskalsAlgorithm
{
    // A class to represent a graph edge
    public class Edge : IComparable<Edge>
    {
        public int src, dest, weight;

        public int CompareTo(Edge other)
        {
            return this.weight - other.weight;
        }
    }

    // A class to represent a disjoint set
    public class Subset
    {
        public int parent, rank;
    }

    // ...

    // The main function to construct MST using Kruskal's algorithm
    public void KruskalMST()
    {
        Edge[] mst = new Edge[V];
        for (int i = 0; i < V; ++i)
            mst[i] = new Edge();

        // Step 1: Sort all the edges in non-decreasing order of their weight.
        Array.Sort(edges);

        // Create V subsets with single elements
        Subset[] subsets = new Subset[V];
        for (int v = 0; v < V; ++v)
        {
            subsets[v] = new Subset();
            subsets[v].parent = v;
            subsets[v].rank = 0;
        }

        int e = 0;  // Index for next result
        int i = 0;  // Index for sorted edges

        // Number of edges to be taken is equal to V-1
        while (e < V - 1)
        {
            // Step 2: Pick the smallest edge.
            Edge next_edge = edges[i++];

            int x = find(subsets, next_edge.src);
            int y = find(subsets, next_edge.dest);

            // If including this edge does not cause cycle,
            // include it in result and increment the index
            // of result for next edge
            if (x != y)
            {
                mst[e++] = next_edge;
                Union(subsets, x, y);
            }
        }

        // print the contents of result[] to display the built MST
        Console.WriteLine("Following are the edges in the constructed MST");
        for (i = 0; i < e; ++i)
            Console.WriteLine("{0} -- {1} == {2}", mst[i].src, mst[i].dest, mst[i].weight);
    }

    // ...
    // Here, you need to define the `find` and `Union` methods.
    // ...
}

이 예에서는 'V' 꼭짓점을 사용하여 그래프를 만들고 가중 가장자리를 추가합니다. 'KruskalMST' 함수는 Kruskal의 알고리즘을 사용하여 MST를 구성합니다.

결론

Kruskal 알고리즘의 개념, 기능 및 응용 프로그램을 이해하면 컴퓨터 과학의 문제 해결 분야에서 새로운 길을 열 수 있습니다. 이 알고리즘은 효율적인 문제 해결에서 논리적으로 구성된 단계의 힘에 대한 증거입니다.